21.如图,在菱形ABCD中,AC为对角线,点E,F分别在AB,AD上,BE=DF,连接EF.
(1)求证:AC⊥EF;
(2)延长EF交CD的延长线于点G,连接BD交AC于点O.若BD=4,tanG=,求AO的长.
【分析】(1)由菱形的性质得出AB=AD,AC⊥BD,OB=OD,OA=OC,得出AB:BE=AD:DF,证出EF∥BD即可得出结论;
(2)由平行线的性质得出∠G=∠ADO,由三角函数得出tanG=tan∠CDO==,得出OC=OD,由BD=4,得出OD=2,得出OC=1,即可得出结果.
【解答】(1)证明:连接BD,交AC于O,如图1所示:
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD,AC⊥BD,OB=OD,OA=OC,
∵BE=DF,
∴AB:BE=AD:DF,
∴EF∥BD,
∴AC⊥EF;
(2)解:如图2所示:
∵由(1)得:EF∥BD,
∴∠G=∠CDO,
∴tanG=tan∠CDO==,
∴OC=OD,
∵BD=4,
∴OD=2,
∴OC=1,
∴OA=OC=1.