28．对于给定的△ABC，我们给出如下定义：
若点M是边BC上的一个定点，且以M为圆心的半圆上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称这样的半圆为BC边上的点M关于△ABC的内半圆，并将半径最大的内半圆称为点M关于△ABC的最大内半圆．
若点M是边BC上的一个动点（M不与B，C重合），则在所有的点M关于△ABC的最大内半圆中，将半径最大的内半圆称为BC关于△ABC的内半圆． （1）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，
①如图1，点D在边BC上，且CD＝1，直接写出点D关于△ABC的最大内半圆的半径长；
②如图2，画出BC关于△ABC的内半圆，并直接写出它的半径长；
（2）在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为（3，0），点P在直线y＝x上运动（P不与O重合），将OE关于△OEP的内半圆半径记为R，当≤R≤1时，求点P的横坐标t的取值范围．
【分析】（1）①与AC相切时，半径最大，所以过D作DE⊥AC于E，根据等腰直角三角形可计算半径DE的长；
②当D为BC的中点时，BC关于△ABC的内半圆为⊙D，如图2，根据等腰直角三角形可计算半径DE的长；
（2）先根据直线y＝x确定与x轴交角为30°，分三种情况：
i）当点P在线段OF上运动时（P不与O重合），OE关于△OEP的内半圆是以M为圆心，分别与OP，PE相切的半圆，如图3，计算边界R＝和1时t的值；
ii）当点P在OF的延长线上运动时，OE关于△OEP的内半圆是以M为圆心，经过点E且与OP相切的半圆，如图5．
iii）当点P 在OF的反向延长上运动时（P不与O重合），OE关于△OEP的内半圆是以M为圆心，经过点O且与EP相切的半圆，先确定半径都是小于1，再计算当R＝时，如图6，此时对应的t值，可解答．
【解答】解：（1）①如图1，过D作DE⊥AC于E， ∵Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，
∴∠C＝∠B＝45°，
∵CD＝1，
∴BD＝2﹣1＞CD，
∴D到AC的距离小于到AB的距离，
∵△DEC是等腰直角三角形，
∴DE＝，
即点D关于△ABC的最大内半圆的半径长是；

 

②当D为BC的中点时，BC关于△ABC的内半圆为⊙D，如图2，

 

∴BD＝BC＝，
同理可得：BC关于△ABC的内半圆半径DE＝1．
（2）过点E作EF⊥OE，与直线y＝x交于点F，设点M是OE上的动点，
i）当点P在线段OF上运动时（P不与O重合），OE关于△OEP的内半圆是以M为圆心，分别与OP，PE相切的半圆，如图3，连接PM，

 

∵直线OF：y＝x
∴∠FOE＝30°
由（1）可知：当M为线段中点时，存在OE关于△OEP的内半圆，
∴当R＝时，如图3，DM＝，此时PM⊥x轴，P的横坐标t＝OM＝；
如图4，当P与F重合时，M在∠EFO的角平分线上，⊙M分别与OF，FE相切，

 

此时R＝1，P的横坐标t＝OE＝3；
∴当≤R≤1时，t的取值范围是≤t≤3．

ii）当点P在OF的延长线上运动时，OE关于△OEP的内半圆是以M为圆心，经过点E且与OP相切的半圆，如图5．

 

∴当 R＝1 时，t的取值范围是t≥3．

iii）当点P 在OF的反向延长上运动时（P不与O重合），OE关于△OEP的内半圆是以M为圆心，经过点O且与EP相切的半圆，如图6．

 

∵∠FOE＝∠OPE+∠OEP＝30°，
∴∠OEP＜30°，
∴OM＜1，
当R＝时，如图6，过P作PA⊥x轴于A，N是切点，连接MN，MN⊥PE，此时OM＝MN＝，ME＝3﹣＝，
∴EN＝＝＝，
Rt△OPA中，∠POA＝30°，OA＝﹣t，
∴PA＝﹣t，
∵∠ENM＝∠EAP＝90°，∠MEN＝∠AEP，
∴△EMN∽△EPA，
∴，即＝
解得：t＝﹣，
∴当≤R＜1时，t的取值范围是t≤﹣．
综上，点P在直线y＝x上运动时（P不与O重合），当≤R≤1时，t的取值范围是t≤﹣或t≥．