8.(2019·全国卷Ⅲ)如图,直角三角形ABC为一棱镜的横截面,∠A=90°,∠B=30°。一束光线平行于底边BC射到AB边上并进入棱镜,然后垂直于AC边射出。
(1)求棱镜的折射率;
(2)保持AB边上的入射点不变,逐渐减小入射角,直到BC边上恰好有光线射出。求此时AB边上入射角的正弦。
解析:(1)光路图及相关量如图所示。
式中n是棱镜的折射率。由几何关系可知α+β=60°②
由几何关系和反射定律得β=β′=∠B③
联立①②③式,并代入i=60°得n=。④
(2)设改变后的入射角为i′,折射角为α′,由折射定律得=n⑤
依题意,光束在BC边上的入射角为全反射的临界角θc,且sin θc=⑥
由几何关系得θc=α′+30°⑦
由④⑤⑥⑦式得入射角的正弦为sin i′=。⑧
答案:(1) (2)
(2)保持AB边上的入射点不变,逐渐减小入射角,直到BC边上恰好有光线射出。求此时AB边上入射角的正弦。
解析:(1)光路图及相关量如图所示。
光束在AB边上折射,由折射定律得=n①
式中n是棱镜的折射率。由几何关系可知α+β=60°②
由几何关系和反射定律得β=β′=∠B③
联立①②③式,并代入i=60°得n=。④
(2)设改变后的入射角为i′,折射角为α′,由折射定律得=n⑤
依题意,光束在BC边上的入射角为全反射的临界角θc,且sin θc=⑥
由几何关系得θc=α′+30°⑦
由④⑤⑥⑦式得入射角的正弦为sin i′=。⑧
答案:(1) (2)