10．(2017·全国卷Ⅲ文，19)如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD＝CD． (1)证明：AC⊥BD；
(2)已知△ACD是直角三角形，AB＝BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．
[解析]　(1)证明：如图，取AC的中点O， 连接DO，BO．
因为AD＝CD，所以AC⊥DO．
又由于△ABC是正三角形，所以AC⊥BO．
从而AC⊥平面DOB，
故AC⊥BD．
(2)解：连接EO．
由(1)及题设知∠ADC＝90°，所以DO＝AO．
在Rt△AOB中，BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2，
故∠DOB＝90°．
由题设知△AEC为直角三角形，所以EO＝AC．
又△ABC是正三角形，且AB＝BD，
所以EO＝BD．
故E为BD的中点，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为1∶1．