1.如图,在平行四边形ABCD中,∠BAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于F,以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG.
(1)证明平行四边形ECFG是菱形;
(2)若∠ABC=120°,连结BG、CG、DG,
①求证:△DGC≌△BGE;
②求∠BDG的度数;
(3)若∠ABC=90°,AB=8,AD=14,M是EF的中点,求DM的长.
1.解:(1)证明:
∵AF平分∠BAD,
∴∠BAF=∠DAF,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AB∥CD,
∴∠DAF=∠CEF,∠BAF=∠CFE,
∴∠CEF=∠CFE,
∴CE=CF,
又∵四边形ECFG是平行四边形,
∴四边形ECFG为菱形;
(2)①∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥DC,AB=DC,AD∥BC,
∵∠ABC=120°,
∴∠BCD=60°,∠BCF=120°
由(1)知,四边形CEGF是菱形,
∴CE=GE,∠BCG=∠BCF=60°,
∴CG=GE=CE,∠DCG=120°,
∵EG∥DF,
∴∠BEG=120°=∠DCG,
∵AE是∠BAD的平分线,
∴∠DAE=∠BAE,
∵AD∥BC,
∴∠DAE=∠AEB,
∴∠BAE=∠AEB,
∴AB=BE,
∴BE=CD,
∴△DGC≌△BGE(SAS);
②∵△DGC≌△BGE,
∴BG=DG,∠BGE=∠DGC,
∴∠BGD=∠CGE,
∵CG=GE=CE,
∴△CEG是等边三角形,
∴∠CGE=60°,
∴∠BGD=60°,
∵BG=DG,
∴△BDG是等边三角形,
∴∠BDG=60°;