1．(2019·山东济南模拟)已知函数f(x)＝(x－1)²－x＋ln x(a＞0)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若1＜a＜e，试判断f(x)的零点个数．
解析 (1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝a(x－1)－1＋＝，令f′(x)＝0，则x1＝1，x2＝.
①若a＝1，则f′(x)≥0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
②若0<a<1，则>1.
当x∈(0,1)时，f′(x)>0，f(x)是增函数；
当x∈时，f′(x)≤0，f(x)是减函数；
当x∈时，f′(x)>0，f(x)是增函数．
③若a>1，则0<<1.
当x∈时，f′(x)>0，f(x)是增函数；
当x∈时，f′(x)≤0，f(x)是减函数；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)是增函数．
综上所述，当a＝1时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
当0<a<1时，f(x)在(0,1)上是增函数，在上是减函数，在上是增函数；
当a>1时，f(x)在上是增函数，在上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．
(2)当1<a<e时，f(x)在上是增函数，在上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，
所以f(x)的极小值为f(1)＝－1<0，f(x)的极大值为f＝2－＋ln＝－－ln a－1，
设g(a)＝－－ln a－1，其中a∈(1，e)，g′(a)＝＋－＝＝>0，
所以g(a)在(1，e)上是增函数，所以g(a)<g(e)＝－－2<0，所以f(x)的极大值f＜0.
又f(x)在(1，＋∞)上为增函数，且f(4)＝(4－1)2－4＋ln 4>×9－4＋ln 4＝ln 4＋>0，
所以有且仅有1个x0∈(1,4)，使f(x0)＝0.
所以当1<a<e时，f(x)有且仅有1个零点．