2．(2019·湖北黄冈中学模拟)已知椭圆C：
＋
＝1(a＞b＞0)的离心率为
，左、右焦点分别为F1，F2，A为椭圆C上一点，AF1与y轴交于点B，|AB|＝|F2B|，|OB|＝
.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过右焦点F2的直线交椭圆于P，Q两点，若PQ的中点为N，O为原点，直线ON交直线x＝3于点M，求
的最大值．
解析 (1)连接AF2，由题意得
＝
＝
，所以BO为△F1AF2的中位线，又因为BO⊥F1F2，所以AF2⊥F1F2，且
＝2
＝
＝
.
又e＝
＝
，a2＝b2＋c2，所以a2＝6，b2＝2，故所求椭圆C的方程为
＋
＝1.
(2)联立
可得(3k2＋1)x2－12k2x＋12k2－6＝0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则由韦达定理得x1＋x2＝
，x1x2＝
，
所以y1＋y2＝k(x1＋x2)－4k＝
，|PQ|＝
·
＝
·
，
所以PQ的中点N的坐标为
，
所以直线ON的方程为y＝－
x，从而点M为
，又F2的坐标为(2,0)，所以|MF2|＝
.
设 I＝
＝
，令u＝3k2＋1，则I＝
＝－
＝－
，
因此当u＝4，即k＝±1时，
取得最大值 
.
＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，A为椭圆C上一点，AF1与y轴交于点B，|AB|＝|F2B|，|OB|＝.(1)求椭圆C的方程；
(2)过右焦点F2的直线交椭圆于P，Q两点，若PQ的中点为N，O为原点，直线ON交直线x＝3于点M，求
的最大值．解析 (1)连接AF2，由题意得
＝＝，所以BO为△F1AF2的中位线，又因为BO⊥F1F2，所以AF2⊥F1F2，且＝2＝＝.又e＝
＝，a2＝b2＋c2，所以a2＝6，b2＝2，故所求椭圆C的方程为＋＝1.(2)联立
可得(3k2＋1)x2－12k2x＋12k2－6＝0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则由韦达定理得x1＋x2＝，x1x2＝，所以y1＋y2＝k(x1＋x2)－4k＝
，|PQ|＝·＝·，所以PQ的中点N的坐标为
，所以直线ON的方程为y＝－
x，从而点M为，又F2的坐标为(2,0)，所以|MF2|＝.设 I＝
＝，令u＝3k2＋1，则I＝＝－＝－，因此当u＝4，即k＝±1时，
取得最大值 .
