27．已知∠MON＝120°，点A，B分别在ON，OM边上，且OA＝OB，点C在线段OB上（不与点O，B重合），连接CA．将射线CA绕点C逆时针旋转120°得到射线CA′，将射线BO绕点B逆时针旋转150°与射线CA′交于点D．

（1）根据题意补全图1；
（2）求证：
①∠OAC＝∠DCB；
②CD＝CA（提示：可以在OA上截取OE＝OC，连接CE）；
（3）点H在线段AO的延长线上，当线段OH，OC，OA满足什么等量关系时，对于任意的点C都有∠DCH＝2∠DAH，写出你的猜想并证明．
【分析】（1）根据题意即可补全图形；
（2）①由旋转得∠ACD＝120°，由三角形内角和得出∠DCB+∠ACO＝60°，∠OAC+∠ACO＝60°，即可得出结论；
②在OA上截取OE＝OC，连接CE，则∠OEC＝∠OCE＝（180°﹣∠MON）＝30°，∠AEC＝150°，得出∠AEC＝∠CBD，易证AE＝BC，由ASA证得△AEC≌△CBD，即可得出结论；
（3）猜想OH﹣OC＝OA时，对于任意的点C都有∠DCH＝2∠DAH，在OH上截取OF＝OC，连接CF、CH，则FH＝OA，∠COF＝180°﹣∠MON＝60°，得出△OFC 是等边三角形，则CF＝OC，∠CFH＝∠COA＝120°，由SAS证得△CFH≌△COA，得出∠H＝∠OAC，由三角形外角性质得出∠BCH＝∠COF+∠H＝60°+∠H＝60°+∠OAC，则∠DCH＝60°+∠H+∠DCB＝60°+2∠OAC，由CA＝CD，∠ACD＝120°，得出∠CAD＝30°，即可得出∠DCH＝2∠DAH．
【解答】（1）解：根据题意补全图形，如图1所示：
（2）证明：①由旋转得：∠ACD＝120°，
∴∠DCB+∠ACO＝180°﹣120°＝60°，
∵∠MON＝120°，
∴∠OAC+∠ACO＝180°﹣120°＝60°，
∴∠OAC＝∠DCB；
②在OA上截取OE＝OC，连接CE，如图2所示：
则∠OEC＝∠OCE＝（180°﹣∠MON）＝（180°﹣120°）＝30°，
∴∠AEC＝180°﹣∠OEC＝180°﹣30°＝150°，
由旋转得：∠CBD＝150°，
∴∠AEC＝∠CBD，
∵OA＝OB，OE＝OC，
∴AE＝BC，在△AEC和△CBD中，，
∴△AEC≌△CBD（ASA），
∴CD＝CA；
（3）解：猜想OH﹣OC＝OA时，对于任意的点C都有∠DCH＝2∠DAH；理由如下：
在OH上截取OF＝OC，连接CF、CH，如图3所示：
则FH＝OA，∠COF＝180°﹣∠MON＝180°﹣120°＝60°，
∴△OFC 是等边三角形，
∴CF＝OC，∠CFH＝∠COA＝120°，
在△CFH和△COA中，，
∴△CFH≌△COA（SAS），
∴∠H＝∠OAC，
∴∠BCH＝∠COF+∠H＝60°+∠H＝60°+∠OAC，
∴∠DCH＝60°+∠H+∠DCB＝60°+2∠OAC，
∵CA＝CD，∠ACD＝120°，
∴∠CAD＝30°，
∴∠DCH＝2（∠CAD+∠OAC）＝2∠DAH．