〔跟踪练习4〕
(2018·全国Ⅲ卷节选)如图1，矩形ABCD所在平面与半圆弧
所在平面垂直，M是
上异于C，D的点．在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．
图1 图2
[解析] 存在，当P为AM的中点时，MC∥平面PBD．证明如下：如图2，连接AC，BD交于点O．
因为ABCD为矩形，所以O为AC的中点．连接OP，因为P为AM的中点，所以MC∥OP.又MC⊄平面PBD，OP⊂平面PBD，所以MC∥平面PBD．
典例5 在下列结论中，正确结论的序号是____________．
①若a、bα，a∥β，b∥β，则α∥β； ②若对任意一条直线aα，均有a∥β，则α∥β；
③aα，a∩β＝A，则α∥\ β； ④aα，α∩β＝l，则a∥\ β．
[错解] ①③ ①正确．由面面平行的判定知，α∥β；②错误．由定义知；③正确．∵A∈a且aα，A∈β，∴α与β有公共点，∴α∥\ β．
④错误．∵α与β有公共直线l，∴当a∥l时，a∥β，故填①③．
[辨析] 对结论②，审题时不能体会到任意一条直线aα的含义，将其误判为错误．
[正解] ②③ ①错，a∥β，b∥β，但a∥b时，α与β可以是相交平面；④错，当a∥l时，由aα，α∩β，有a∥β．
(2018·全国Ⅲ卷节选)如图1，矩形ABCD所在平面与半圆弧
所在平面垂直，M是上异于C，D的点．在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由． 图1 图2
[解析] 存在，当P为AM的中点时，MC∥平面PBD．证明如下：如图2，连接AC，BD交于点O．
因为ABCD为矩形，所以O为AC的中点．连接OP，因为P为AM的中点，所以MC∥OP.又MC⊄平面PBD，OP⊂平面PBD，所以MC∥平面PBD．
典例5 在下列结论中，正确结论的序号是____________．
①若a、bα，a∥β，b∥β，则α∥β； ②若对任意一条直线aα，均有a∥β，则α∥β；
③aα，a∩β＝A，则α∥\ β； ④aα，α∩β＝l，则a∥\ β．
[错解] ①③ ①正确．由面面平行的判定知，α∥β；②错误．由定义知；③正确．∵A∈a且aα，A∈β，∴α与β有公共点，∴α∥\ β．
④错误．∵α与β有公共直线l，∴当a∥l时，a∥β，故填①③．
[辨析] 对结论②，审题时不能体会到任意一条直线aα的含义，将其误判为错误．
[正解] ②③ ①错，a∥β，b∥β，但a∥b时，α与β可以是相交平面；④错，当a∥l时，由aα，α∩β，有a∥β．
