如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.
(1)证明MN∥平面PAB;
(2)求四面体N-BCM的体积.
[解析] (1)由已知得AM=AD=2.
取BP的中点T,连接AT,TN,由N为PC的中点知TN∥BC,
又AD∥BC,故TN綊AM,四边形AMNT为平行四边形,于是MN∥AT.
因为AT平面PAB,MN⃘平面PAB,所以MN∥平面PAB.
(2)因为PA⊥平面ABCD,N为PC的中点,所以N到平面ABCD的距离为PA.
取BC的中点E,连接AE.由AB=AC=3得AE⊥BC,
AE==.
由AM∥BC得M到BC的距离为,
故S△BCM=×4×=2.
所以四面体N—BCM的体积VN-BCM=×S△BCM×=.
(2)求四面体N-BCM的体积.
[解析] (1)由已知得AM=AD=2.
取BP的中点T,连接AT,TN,由N为PC的中点知TN∥BC,
TN=BC=2.
又AD∥BC,故TN綊AM,四边形AMNT为平行四边形,于是MN∥AT.
因为AT平面PAB,MN⃘平面PAB,所以MN∥平面PAB.
(2)因为PA⊥平面ABCD,N为PC的中点,所以N到平面ABCD的距离为PA.
取BC的中点E,连接AE.由AB=AC=3得AE⊥BC,
AE==.
由AM∥BC得M到BC的距离为,
故S△BCM=×4×=2.
所以四面体N—BCM的体积VN-BCM=×S△BCM×=.