典例6 如图所示，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1，点P为棱D1D的中点，且∠EOD＝45°，AA1＝2a，AB＝a．
(1)Q是BB1上一点，且BQ＝
a，求证：DQ⊥平面EAC；
(2)试判断BP是否平行于平面EAC，并说明理由；
(3)若点M在侧面BB1C1C及其边界上运动，并且总保持AM⊥BP，试确定动点M所在位置．
[解析] (1)∵ABCD－A1B1C1D1为正四棱柱，
∴AC⊥BD且AC⊥BB1，∴AC⊥平面BD1．
又DQ平面BD1，∴AC⊥DQ．
又在Rt△EDO中，∠EOD＝45°，OD＝
a，
∴DE＝
a．
又BQ＝
a，可证DQ⊥OE，∴DQ⊥平面EAC．
(2)BP不平行于平面EAC．理由如下：
若BP∥平面EAC，又BP平面DPB，平面DPB∩平面EAC＝OE，∴BP∥OE．
又O为BD中点，则E为DP中点，这与DP＝a，DE＝
a矛盾，
故PB∥\ 平面EAC．
(3)如上图，取BB1中点G，
连接CG，则M∈CG．
证明如下：
由(1)知BP⊥AC，又取AA1、CC1中点R、S，连接PR、RG、GS、SP．
可知ABCD—RGSP为正方体，易证CG⊥平面BSP．
∴CG⊥BP．
则BP⊥平面ACG.∴M∈CG.
『规律总结』 本题综合性较强，第(2)小问为是否存在问题，证明方法一般为先假设存在，以假设为条件来证明．
a，求证：DQ⊥平面EAC；(2)试判断BP是否平行于平面EAC，并说明理由；
(3)若点M在侧面BB1C1C及其边界上运动，并且总保持AM⊥BP，试确定动点M所在位置．
∴AC⊥BD且AC⊥BB1，∴AC⊥平面BD1．
又DQ平面BD1，∴AC⊥DQ．
又在Rt△EDO中，∠EOD＝45°，OD＝
a，∴DE＝
a．又BQ＝
a，可证DQ⊥OE，∴DQ⊥平面EAC．(2)BP不平行于平面EAC．理由如下：
若BP∥平面EAC，又BP平面DPB，平面DPB∩平面EAC＝OE，∴BP∥OE．
又O为BD中点，则E为DP中点，这与DP＝a，DE＝
a矛盾，故PB∥\ 平面EAC．
(3)如上图，取BB1中点G，
连接CG，则M∈CG．
证明如下：
由(1)知BP⊥AC，又取AA1、CC1中点R、S，连接PR、RG、GS、SP．
可知ABCD—RGSP为正方体，易证CG⊥平面BSP．
∴CG⊥BP．
则BP⊥平面ACG.∴M∈CG.
『规律总结』 本题综合性较强，第(2)小问为是否存在问题，证明方法一般为先假设存在，以假设为条件来证明．
1．若l，m，n是互不相同的空间直线，α，β是不重合的平面，则下列结论中正确的是( C )
A．若α∥β，lα，nβ，则l∥n
B．若α⊥β，lα，则l⊥β
C．若l⊥α，l∥β，则α⊥β
D．若l⊥n，m⊥n，则l∥m
[解析] 对于选项C，若l∥β，则在β内必有直线n与l平行，从而n⊥α，于是α⊥β．
