21．(9分)如图，在▱ABCD中，AE、AF是平行四边形的高，∠BAE＝30°，BE＝2，CF＝1，DE交AF于点G.
(1)求线段DF的长；
(2)求证：△AEG是等边三角形．

21．
(1)解：∵在平行四边形ABCD中AE、AF是高，
∴∠AEB＝∠AEC＝90°，∠AFD＝90°，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB＝90°，∠ADE＝∠DEC.
∵在Rt△ABE中∠BAE＝30°，BE＝2，
∴AB＝4，∠ABE＝60°.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABE＝∠ADC＝60°，CD＝AB＝4.
∵CF＝1，CD＝4，∴DF＝CD－CF＝4－1＝3.
(2)证明：∵在△ADF中∠ADC＝60°，
∠AFD＝90°，∴∠DAF＝30°，∴AD＝6.
∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABE＝60°，
∴∠DAB＝∠C＝120°，BC＝AD＝6，
∴EC＝4，又∵CD＝4，
∴EC＝CD，[
∴∠DEC＝∠EDC＝30°.
∵由(1)知∠AEC＝90°，∴∠AEG＝60°.
∵∠BAE＝30°，∠DAF＝30°，
∴∠EAG＝∠DAB－∠BAE－∠DAF＝60°，
∴∠AGE＝∠EAG＝∠AED＝60°，
∴△AEG是等边三角形．