如图，△ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE＝AB＝2a，CD＝a，F是BE的中点．
求证：(1)DF∥平面ABC；
(2)AF⊥BD．
[解析] (1)取AB的中点G，连接FG、CG，可得FG∥AE，FG＝
AE．
∵CD⊥平面ABC，AE⊥平面ABC，∴CD∥AE．
又∵CD＝
AE，
∴FG∥CD，FG＝CD．
∵FG⊥平面ABC，
∴四边形CDFG是矩形，DF∥CG，
又CG平面ABC，DF⃘平面ABC，
∴DF∥平面ABC．
(2)由(1)知CG⊥GF，又CG⊥AB，
∴CG⊥平面ABE，
∴CG⊥AF，DF∥CG，
∴AF⊥DF
在Rt△ABE中，AE＝AB，F为BE中点，
AF⊥BE，∴AF⊥平面BDF，
∴AF⊥BD．
(2)AF⊥BD．
[解析] (1)取AB的中点G，连接FG、CG，可得FG∥AE，FG＝
AE．
又∵CD＝
AE，∴FG∥CD，FG＝CD．
∵FG⊥平面ABC，
∴四边形CDFG是矩形，DF∥CG，
又CG平面ABC，DF⃘平面ABC，
∴DF∥平面ABC．
(2)由(1)知CG⊥GF，又CG⊥AB，
∴CG⊥平面ABE，
∴CG⊥AF，DF∥CG，
∴AF⊥DF
在Rt△ABE中，AE＝AB，F为BE中点，
AF⊥BE，∴AF⊥平面BDF，
∴AF⊥BD．
